갤러킨 방법의 개요
갤러킨 방법(Galerkin's method)은 유한요소법(FEM, Finite Element Method)에서 미분방정식의 근사해를 구하는 데 사용되는 중요한 수치해석 기법이다. 이 방법은 특히 경계값 문제에 적용되며, 미분방정식의 해를 근사적으로 찾는 데 사용된다. 갤러킨 방법의 핵심은 가중잔여법(weighted residual method)을 사용하는 것이다.
갤러킨 방법의 기본 원리
- 미분방정식 설정: 주어진 물리적 문제에 대한 미분방정식을 설정한다. 예를 들어, 열전달, 유체역학, 구조역학 등의 문제가 이에 해당한다.
- 근사해의 가정: 실제 해(exact solution)를 직접 찾는 것은 매우 어렵거나 불가능할 수 있다. 따라서, 근사해(approximate solution)를 가정한다. 이 근사해는 시험함수(trial functions)의 선형 조합으로 표현된다.
- 잔차의 계산: 근사해를 미분방정식에 대입하면, 일반적으로 완벽하게 만족하지 않기 때문에 오차, 즉 잔차(residual)가 발생한다.
- 가중잔여법의 적용: 잔차에 가중함수(weight function)를 곱하고, 이를 전체 영역에 대해 적분한다. 이 적분값이 0이 되도록 하는 것이 목표이다.
갤러킨 방법의 수학적 접근
- 근사해의 표현
갤러킨 방법에서는 미분방정식의 실제 해를 직접 찾는 대신, 근사해(approximate solution)를 사용한다. 이 근사해는 시험함수(trial functions) $\phi_i(x)$의 선형 조합으로 표현된다.
$$\tilde{u}(x) = \sum_{i=1}^{N} c_i \phi_i(x)$$
여기서 $\phi_i(x)$ 는 미리 정의된 함수(시험함수)이며, $c_i$는 이러한 함수들의 조합을 통해 근사해를 형성하는 미지의 계수이다. - 오차(잔차)의 정의
근사해를 미분방정식에 대입하면, 일반적으로 완벽하게 만족하지 않는다. 이로 인해 발생하는 오차를 잔차(residual)라고 한다.
$$R(x) = \frac{d^2\tilde{u}}{dx^2} + p(x)$$
여기서 $R(x)$는 미분방정식과 근사해 사이의 차이를 나타내며, $p(x)$는 주어진 미분방정식의 특정 항이다. - 가중잔여법
가중잔여법은 잔차에 가중함수 $W(x)$를 곱하고, 이를 전체 영역에 대해 적분하는 방법이다. 이 적분값이 0이 되도록 하는 것이 목표이다.
$$\int_{0}^{1} R(x) W(x) \, dx = 0$$ - 갤러킨 방법의 적용
갤러킨 방법에서는 가중함수 $W(x)$를 시험함수 $\phi_i(x)$와 동일하게 설정한다. 이는 갤러킨 방법의 핵심적인 특징 중 하나이다. - 행렬 방정식의 형성
각 시험함수에 대해 가중잔여법을 적용하면, 다음과 같은 행렬 방정식을 얻을 수 있다.
$$\sum_{j=1}^{N} c_j \int_{0}^{1} \frac{d\phi_i}{dx} \frac{d\phi_j}{dx} \, dx = \int_{0}^{1} p(x) \phi_i(x) \, dx$$
이 식은 모든 $i$에 대해 성립해야 한다. 여기서 좌변은 근사해의 미분과 시험함수의 미분의 곱에 대한 적분을 나타내며, 우변은 주어진 미분방정식의 특정 항과 시험함수의 곱에 대한 적분을 나타낸다.
이러한 방정식들은 선현 대수학적인 행렬 방정식으로 표현될 수 있으며, 이를 통해 미지 계수 $c_i$를 구할 수 있다. 이 계수들을 통해 근사해를 구성하고, 따라서 미분 방정식의 근사적인 해를 얻을 수 있다.
갤러킨 방법은 복잡한 미분방정식을 근사적으로 해결하는 데 매우 유용한 방법이다. 이 방법은 특히 엔지니어링과 물리학에서 널리 사용되며, 유한요소법의 핵심적인 부분을 이룬다.