페르마의 마지막 정리/풀리지 않는 문제

안녕하세요! 오늘은 수학 역사에서 가장 유명한 난제 중 하나로 꼽히는 ‘페르마의 마지막 정리’를 이야기해보려 합니다. 단순한 한 줄의 주석이 350년 동안 수학자들을 도전하게 만들었다면 믿기 어렵겠지만, 실제로 그런 일이 있었습니다. 이 정리는 결국 현대 수학의 위대한 발견으로 이어지며, ‘집요함’과 ‘아름다움’의 상징으로 남아 있습니다.

모든 것은 한 줄의 주석에서 시작되었다

17세기 프랑스의 법률가이자 아마추어 수학자인 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)는 여가 시간에 수학 연구를 즐기며 여러 정리를 남겼습니다. 그중 하나는 고대 수학자 디오판토스의 책 산술(Arithmetica)의 여백에 남긴 한 줄의 주석이었죠.

“나는 정말 멋진 증명을 찾았지만, 이 여백은 그걸 쓰기엔 너무 좁다.”

 

페르마는 이렇게 쓰고는 사라졌습니다. 이 문장은 당시 수학계에 거대한 파장을 일으켰습니다. 그가 남긴 문제는 이렇게 간단합니다.

정수 $x,y,z$에 대해, $n>2$인 경우 $x^n + y^n = z^n$을 만족하는 해는 존재하지 않는다.

 

이를 두고 사람들은 "페르마의 마지막 정리"라 부르게 되었죠. 단순해 보이는 이 명제는 곧 수학계에서 가장 어려운 문제 중 하나로 자리 잡았습니다.

350년의 도전: 천재들도 고개를 숙이다

페르마는 증명을 기록하지 않았고, 이로 인해 수많은 수학자들이 그 정리를 증명하려고 도전했습니다. 하지만 이 문제는 생각보다 훨씬 더 어려웠습니다. 350년 동안 일반적인 증명은 끝내 이루어지지 못했죠.

특정 값에 대한 증명

18세기와 19세기 동안 일부 수학자들은 특정 값에 대해 증명을 시도했습니다. 예를 들어:

• $n=3,4,5$와 같은 경우에는 해결되었지만,
• 모든 $n>2$ 에 대해 일반적으로 증명하는 것은 불가능해 보였습니다.

현대 수학의 도구도 부족하다

20세기로 넘어오며, 수학자들은 점점 더 정교한 이론을 동원했습니다. 그러나 여전히 페르마의 마지막 정리를 완전히 해결하기는 어려웠습니다. 사람들은 이 정리를 단순한 퍼즐로 보지 않고, 수학의 근본적인 이해를 요구하는 문제로 간주하기 시작했습니다.

1994년, 드디어 마침표를 찍다

350년의 미스터리는 결국 20세기 후반 영국의 수학자 앤드류 와일스(Andrew Wiles)에 의해 풀렸습니다. 와일스는 어린 시절부터 페르마의 마지막 정리에 매료되었고, 오랜 시간 이 문제를 해결하는 꿈을 꾸어왔습니다.

와일스의 비밀스러운 연구

• 와일스는 7년 동안 비밀리에 이 정리를 연구했습니다.
• 그는 현대 수학의 도구, 특히 타니야마-시무라 추측(Taniyama-Shimura Conjecture)이라는 복잡한 이론을 활용해 증명을 시도했습니다.

최종 증명

1994년, 와일스는 마침내 자신의 연구를 발표했습니다. 초기에는 작은 오류가 발견되었지만, 1995년에 수정된 증명이 발표되면서 모든 의문이 해결되었습니다. 그의 증명은 100페이지가 넘는 논문으로 작성되었고, 현대 수학의 다양한 분야를 통합한 걸작으로 평가받았습니다.

수학적 아름다움: 단순함 속 깊은 복잡성

페르마의 마지막 정리가 특별한 이유는 단순히 어렵기 때문이 아닙니다. 이는 수학적 아름다움과 집요함의 완벽한 상징이기 때문입니다.

1. 단순함 속의 복잡함
   • 문제는 단순합니다. 몇 마디 문장으로 설명할 수 있죠. 그러나 이를 증명하려면 수많은 이론과 창의적 접근이 필요합니다.
2. 집요한 도전의 가치
   • 350년 동안 수많은 수학자들이 이 문제를 풀기 위해 노력했습니다. 와일스의 증명은 이들의 집요한 도전 없이는 불가능했을 것입니다.
3. 현대 수학의 통합
   • 와일스는 페르마의 마지막 정리를 증명하며, 타원곡선 이론과 모듈러 형식 같은 현대 수학 이론을 결합했습니다. 이는 단순한 증명을 넘어 수학의 새로운 가능성을 열었습니다.

우리가 배울 수 있는 것: 인내와 창의성

페르마의 마지막 정리는 단순히 수학적 난제를 넘어 우리에게 중요한 교훈을 줍니다. 이는 어려운 문제 앞에서의 자세와 집요함의 가치를 보여줍니다.

• 포기하지 말라: 아무리 어려운 문제라도 집요하게 도전하면 언젠가는 해결됩니다. 와일스가 그랬듯, 끈기는 위대한 발견을 가능하게 합니다.
• 새로운 시각을 가져라: 기존 방식으로 해결되지 않는 문제는 창의적이고 혁신적인 접근이 필요합니다. 와일스는 현대 수학의 다양한 도구를 결합해 새로운 길을 열었습니다.
• 문제 속의 아름다움을 보라: 모든 난제에는 그 자체의 아름다움이 숨어 있습니다. 단순한 수식이라도 그 안에 담긴 이야기는 무궁무진합니다.

우리의 마지막 정리

여러분도 인생에서 풀리지 않는 문제를 마주한 적이 있나요? 어쩌면 그 문제는 페르마의 마지막 정리처럼 풀리지 않을 것처럼 보일지도 모릅니다. 하지만 와일스처럼 끈기와 창의성을 가지고 도전한다면, 언젠가 여러분만의 "유레카!" 순간을 맞이할 수 있을 겁니다.

문제는 어려울수록 풀었을 때 더 큰 아름다움을 선사합니다. 페르마가 남긴 마지막 정리처럼요. 😊